Решите уравнение log3(1+√x) =log8(x)
Нужно решение полное.

1) cos(x/3) > √3/2
Если нарисовать тригонометрический круг и отметить точки, где
cos a = √3/2, то есть a1 = pi/6 + 2pi*k; a2 = -pi/6 + 2pi*k,
то станет понятно, что решение неравенства:
x/3 ∈ (-pi/6 + 2pi*k; pi/6 + 2pi*k)
x ∈ (-pi/2 + 6pi*k; pi/2 + 6pi*k)
Это решение приведено на рисунке 1.

2) 3ctg(pi/6 + x/2) > -√3
ctg(pi/6 + x/2) > -√3/3
Здесь лучше показать решение на графике котангенса, рис. 2.
ctg a = -√3/3; a = 2pi/3 + pi*k;
ctg a не определен (условно равен +oo) при a = pi*k
pi/6 + x/2 ∈(pi*k; 2pi/3 + pi*k)
x/2 ∈ (-pi/6 + pi*k; 2pi/3 - pi/6 + pi*k) = (-pi/6 + pi*k; pi/2 + pi*k)
x ∈ (-pi/3 + 2pi*k; pi + 2pi*k)

task/24781827
---.---.---.---.---.---
 решите уравнения   3*cos2x - sinx + 4=0
* * * cos2x =cos²x -sin²x =(1 - sin²x - sin²x = 1 - 2sin²x  * * *
3(1 -2sin²x)  - sinx + 4=0 ;
3 - 6sin²x -sinx +4 =0 ;
- 6sin²x -sinx +7 =0 ;
6sin²x +sinx -7 =0 ;  ( квадратное  уравнения относительно sinx )
* * *можно и так   6sin²x +sinx -7 =6sin²x -6sinx +7sinx -7 =
6sinx(sinx -1) +7(sinx-1) =(sinx -1)(6sinx +7)  =  6(sinx+7/6) (sinx -1) * * *
замена  t = sinx   * * *  -1  ≤  t  ≤ 1 * * *
6t² +t -7 =0 ;  D =1² -4*6*(-7) = 169 =13² 
t₁ = (-1 -13) / (2*6) = -7/6  < -1 не имеет решения
t₂ = (-1 +13) / (2*6) =1  ⇒ sinx =1
x =π/2 +2π*n ,n∈Z.

ответ  : π/2 +2π*n ,n∈Z.