1.Покажите, что функция F(x)=3e^2x+3x²-sin x - 1 на всей числовой прямой является первообразной для функции f(x)=6e^2x+6x-cos x 2.Для функции f(x)=4(x-1)⁴-4(2x-1)³+5x+cos 2x найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;1) 3. НАЙДИТЕ площадь фигуры, ограниченной линиямм: а) y=-x²-x+12 и осью ОХ б)y=x²+1 и y=5

1. Для показания того, что функция F(x) = 3e^(2x) + 3x^2 - sin(x) - 1 является первообразной для функции f(x) = 6e^(2x) + 6x - cos(x), мы должны взять производную от F(x) и убедиться, что она равна f(x).

Производная от F(x) по x будет:

F'(x) = d/dx(3e^(2x) + 3x^2 - sin(x) - 1)
= 6e^(2x) + 6x - cos(x)

Как видно, производная от F(x) равна f(x), поэтому функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой.

2. Для того, чтобы найти первообразную функции f(x) = 4(x-1)^4 - 4(2x-1)^3 + 5x + cos(2x), проходящую через точку М(0;1), мы должны проинтегрировать f(x) и использовать точку М(0;1) для нахождения постоянной интегрирования.

∫f(x)dx = ∫[4(x-1)^4 - 4(2x-1)^3 + 5x + cos(2x)]dx
= (4/5)(x-1)^5 - (4/8)(2x-1)^4 + (5/2)x^2 + (1/2)sin(2x) + C

Теперь, чтобы найти постоянную интегрирования C, мы можем использовать точку М(0;1):

(4/5)(0-1)^5 - (4/8)(2(0)-1)^4 + (5/2)(0)^2 + (1/2)sin(2(0)) + C = 1

-(4/5) + (4/8) + C = 1
- (32/40) + (20/40) + C = 1
- (12/40) + C = 1
C = 1 + (12/40)
C = 1 + (3/10)
C = 13/10

Итак, первообразная функции f(x) с графиком, проходящим через точку М(0;1), будет:

∫f(x)dx = (4/5)(x-1)^5 - (4/8)(2x-1)^4 + (5/2)x^2 + (1/2)sin(2x) + 13/10

3.

a) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линией y = -x^2 - x + 12 и осью Ox, мы должны проинтегрировать функцию y = -x^2 - x + 12 от соответствующего предела по оси x.

Поскольку пределы интегрирования не указаны, мы будем считать, что они охватывают всю фигуру, ограниченную линией и осью Ox.

∫[-x^2 - x + 12]dx = [- (1/3)x^3 - (1/2)x^2 + 12x] ограничивая его

Теперь нам нужно найти разность между значениями интеграми до и после пределов, чтобы найти площадь фигуры.

y = -x^2 - x + 12 пересекает ось Ох в точке (3;0) (или можно решить уравнение -x^2 - x + 12 = 0 и найти его корни).

Подставляя x = 3 в интеграл, получаем:

[(- (1/3)(3)^3 - (1/2)(3)^2 + 12(3))] - [(- (1/3)(0)^3 - (1/2)(0)^2 + 12(0))]

= [- (1/3)(27) - (1/2)(9) + 36] - [0]

= - 9 - 4.5 + 36

= 22.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линией y = -x^2 - x + 12 и осью Ox, равна 22.5.

b) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = 5, мы должны найти точки пересечения этих двух функций и проинтегрировать функцию разности между ними.

Чтобы найти точки пересечения, мы должны решить уравнение x^2 + 1 = 5:

x^2 = 4
x = +/- 2

Таким образом, функции y = x^2 + 1 и y = 5 пересекаются в точках (-2;5) и (2;5).

Чтобы найти площадь, мы должны проинтегрировать функцию, равную разности между y = x^2 + 1 и y = 5, от -2 до 2:

∫[(x^2 + 1) - 5]dx = ∫[x^2 - 4]dx = (1/3)x^3 - 4x ограничивая его

Подставляя пределы, получаем:

[(1/3)(2)^3 - 4(2)] - [(1/3)(-2)^3 - 4(-2)]

= [(1/3)(8) - 8] - [(1/3)(-8) + 8]

= (8/3 - 8) - (-8/3 + 8)

= -8/3 + 8 + 8/3 - 8

= 0

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = 5, равна 0.