Рассмотрим множество A, заданное в условии:
и множество натуральных чисел ℕ. Замечу, что при любом k дробь вида 
является несократимой, то есть если выписывать такие дроби, начиная с k = 1 и увеличивая каждый раз переменную k на 1, ни одна из них не повторится (так как знаменатель постоянно увеличивается).
Покажем, что между этими двумя множествами можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого всем дробям вида , где 
, поставим в соответствие число 
. С одной стороны, согласно построению каждой такой дроби будет соответствовать натуральное , притом единственное. С другой стороны, для каждого натурального можно указать единственную (смотри замечание в предыдущем абзаце) дробь вида , и все они будут принадлежать множеству A, поскольку пробегает все натуральные значения. Итак, построенное соответствие действительно взаимно однозначное. А раз множество ℕ счетное, то и множество A также счетное.
ответ: v∈[4;(8+√61)/3] км/ч.
Объяснение:
Пусть v км/ч - собственная скорость лодки. Тогда на путь по течению она затратила время t1=10/(v+1) ч., а на путь против течения - время t2=6/(v-1) ч. Тогда время всей поездки t=t1+t2=4*(4*v-1)/(v²-1) ч. По условию, 3≤t≤4, откуда следует система неравенств:
4*(4*v-1)/(v²-1)≥3
4*(4*v-1)/(v²-1)≤4.
Решая первое неравенство, находим v∈(0;(8-√61)/3]∪(1;(8+√61)/3]
Решая второе неравенство, находим v∈(0;1)∪[4;+∞). Однако v>1, так как при v≤1 лодка не сможет пройти обратный путь. Отсюда v∈[4;(8+√61)/3] км/ч.
