Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, якщо перший член більший від третього на 6, а другий менший від четвертого на 3.

Объяснение:

1)  3 - 21x = 24x² ;

24x² + 21x - 3 = 0 ;  │: 3

8x² + 7x - 1 = 0 ;

D = 7² - 4*8*( - 1 ) = 81 > 0 ;  x₁ = ( - 7 - 9 )/2*8 = - 1 ; x₂ =  ( -7 + 9 )/2*8 = 1/8 .

В - дь :   - 1  ;  1/8 .

2)  32x² + 9x = - 36x ;

     32x² + 9x + 36x = 0 ;

      32x² + 45x = 0 ;

x* ( 32x + 45 ) = 0 ;

x₁ = 0 ;           32x + 45 = 0 ;

                     32x = - 45 ;

                        x = - 45/32 ;

                        x = - 1 13/32 .         В - дь :   - 1 13/32 ;   0  .

3)  9 = 48x² + 6x ;

    48x² + 6x - 9 = 0 ;  │ : 3

     16x² + 2x - 3 = 0 ;

      D = 196  > 0 ;  x₁=  - 1/2 ;  x₂= 3/8 .

В - дь :   - 1/2  ;   3/8 .

 

Какой формулой пользоваться значения не имеет. На фотографиях представлены решения уравнения .

Если нарисовать числовую окружность, то значение  есть координата точки по оси , ведь для любой точки числовой окружности справедливо, что , т.е. точка имеет координаты .  

Если провести прямую, параллельную оси через точку , то она пересечётся с числовой окружностью в каких-то точках.  

Чтобы было понятнее, советую нарисовать окружность радиусом и центром в точке и отмечать всё, о чём я пишу.  

Теперь рассмотрим эти точки пересечения.

Если , то пересечения будут в первой и второй четвертях.

Если , то пересечения будут в третьей и четвёртой четвертях.

Если , то пересечений тоже два и это  и .

Если , то пересечение только одно, при чём точка пересечения будет и точкой касания, и равна она .

Если же , то пересечение тоже одно, тоже является точкой касания, но значение равно .

А теперь вспомним определение арксинуса. Арксинусом числа называют такой угол , что . Главное здесь то, что может быть углом только первой четверти.  

Отсюда же следует, что .

Это прекрасно работает для , ведь .

Но только недавно мы проверили, что у нас может быть и не одно, а два решения. Как поступить в случае, если арксинус работает только для углов первой четверти, а нам нужно, чтобы он работал во второй? ответ прост. - это число, а - угол.  

Пусть прямая пересекается с окружностью в точках в первой четверти и во второй четверти, а точку на оси мы обзовём . Рассмотрим треугольники и , в них:

- отрезок, лежащий на оси , а - хорда, параллельная оси , значит , по аксиоме о перпендикулярности прямых. Следовательно, треугольники и - прямоугольные по определению. - отрезок, лежащий на радиусе и , значит по свойству радиуса. - общая сторона.

Треугольники  и  равны по двум катетам. Из этого следует и то, что их соответственные углы равны. Т.е. угол  и угол .

Но углы мы отсчитываем от точки , обзовём её . Тогда угол . А это угол первой четверти.  

А угол  - искомый угол второй четверти.

Как нам известно, все числа на числовой окружности получаются с поворота на определённый угол, пусть - этот угол. И если мы сделаем полный оборот, то мы хоть и придём в ту же самую точку, но вот число уже будет другое, ведь поворачивались мы на другой угол, равный . Таким образом, чтобы описать все числа, находящиеся в точке на окружности с координатами надо добавить , где - целое (чтобы получились полные обороты).

Вот так и получается первая формула.

Что до второй, то тут всё проще. Выводить её не буду, и так ответ уже километровый. В ней всё работает на чётности . Если  - чётное, то формула трансформируется в , если нечётное, то в , ну а . Т.е. это тоже самое, только записанное в одну строчку. Использовать вторую формулу не советую. Она менее интуитивно понятная. Но если в ней разобраться, то решение уменьшается в размере, это правда.

Как-то так. Фу-у-у-ух. Много. Очень Много Букв.

P.S. Прости за задержку.