№1. найдите все первообразные функций: а) f(x)=3x^2-5e^6xб) f(x)=1/3cos(6x)-4sin(4x)в) f(x)=2cos^2(x/2)№2. найдите первообразную f(x) функции f(x), принимающую указанное значение в заданной точке: f(x)= - 1/(x+1)^2 + 4(x-1)^5; f(0)=1№3. вычислите площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью x, прямыми x=a, x=b и функцией y=f(x)y(x)=6x-x^2; x=1; x=3№4. вычислите площадь фигуры (во вложении)

№1.
a) Чтобы найти первообразную функции f(x) = 3x^2 - 5e^6x, нужно поочередно интегрировать каждый из членов функции.
Интеграл ∫(3x^2) dx будет равен x^3.
Интеграл ∫(-5e^6x) dx будет равен (-1/6)e^6x.
Таким образом, первообразная функции f(x) будет равна F(x) = x^3 - (1/6)e^6x.

b) Чтобы найти первообразную функции f(x) = (1/3)cos(6x) - 4sin(4x), также поочередно интегрируем каждый из членов функции.
Интеграл ∫(1/3)cos(6x) dx будет равен (1/18)sin(6x).
Интеграл ∫(-4sin(4x)) dx будет равен (4/4)cos(4x).
Таким образом, первообразная функции f(x) будет равна F(x) = (1/18)sin(6x) - cos(4x).

c) Данная функция f(x) = 2cos^2(x/2) можно представить в виде f(x) = 2(cos(x/2))^2.
Чтобы найти первообразную функции, применим формулу двойного угла и замену переменной.
Пусть u = x/2, тогда du = (1/2)dx.
Интеграл ∫2(cos(x/2))^2 dx будет равен ∫2(cos(u))^2 du.
Мы знаем, что cos^2(u) = (1/2)(1 + cos(2u)).
Тогда ∫2(cos(u))^2 du будет равен ∫2(1/2)(1 + cos(2u)) du.
Интеграл ∫2(1/2)(1 + cos(2u)) du будет равен (1/2)(u + (1/2)sin(2u)) + C.
Подставляя обратную замену, получаем первообразную функции F(x) = (1/2)(x/2 + (1/2)sin(x)) + C.

№2.
Дана функция f(x) = -1/(x+1)^2 + 4(x-1)^5 и нам дано значение f(0) = 1.
Мы должны найти первообразную функции f(x), которая принимает значение 1 в точке x = 0.
Чтобы найти эту первообразную функции, возьмем интеграл ∫[f(x)] dx от обеих сторон уравнения.
∫[f(x)] dx = ∫[-1/(x+1)^2 + 4(x-1)^5] dx.
Используем формулы интегрирования для каждого из членов:
∫[-1/(x+1)^2] dx = 1/(x+1) + C1, где C1 - произвольная константа.
∫[4(x-1)^5] dx = (4/6)(x-1)^6 + C2, где C2 - произвольная константа.
Таким образом, первообразная функции f(x), принимающая значение 1 в точке x = 0, будет равна F(x) = 1/(x+1) + (4/6)(x-1)^6 + C, где C - произвольная константа.

№3.
Дана функция y(x) = 6x - x^2 и ограничения x = 1 и x = 3. Мы должны вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой функцией и вертикальными прямыми в заданных пределах.
Площадь такой криволинейной трапеции может быть найдена путем вычисления определенного интеграла функции y(x) от x = 1 до x = 3.

∫[y(x)] dx от x = 1 до x = 3 = ∫[6x - x^2] dx от x = 1 до x = 3.

Интегрируем каждый из членов функции:

∫[6x] dx = 3x^2.

∫[-x^2] dx = (-1/3)x^3.

Теперь, подставляя пределы интегрирования, получаем:

∫[y(x)] dx от x = 1 до x = 3 = (3(3)^2 - (1/3)(3)^3) - (3(1)^2 - (1/3)(1)^3)
= (27 - 9) - (3 - 1/3)
= 18 - 8/3
= 54/3 - 8/3
= 46/3.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной функцией y(x) = 6x - x^2, x = 1 и x = 3, равна 46/3.

№4.
Для вычисления площади фигуры, представленной на изображении, нужно разбить ее на более простые геометрические фигуры, вычислить площадь каждой из них, а затем сложить эти площади, чтобы получить общую площадь.

В данном случае фигура представляет собой сочетание прямоугольника и трапеции.
Чтобы вычислить площадь прямоугольника, нужно умножить его длину на ширину.
Площадь прямоугольника равна 4 * 3 = 12.

Чтобы вычислить площадь трапеции, нужно использовать формулу площади трапеции: S = (a + b) * h / 2, где a и b - длины оснований трапеции, h - высота трапеции.
В данном случае основаниями будут 4 и 8, а высотой будет 6.
Подставляем значения в формулу: S = (4 + 8) * 6 / 2 = 12 * 6 / 2 = 72 / 2 = 36.

Теперь складываем площади прямоугольника и трапеции: 12 + 36 = 48.

Общая площадь фигуры равна 48.