Выражение 2sin^2a*ctga/cos^2a-sin^2a - tg2a

Примем всю работу за 1.
Пусть х минут понадобится второму принтеру для печати справочных материалов, тогда первому принтеру необходимо (х - 10) минут.
Первый принтер печатает  1/(х - 10) часть справочных материалов в минуту, тогда второй принтер печатает 1/х часть справочных материалов в минуту.
Вместе они могут напечатать справочные материалы за 12 минут.
12*(1/х + 1/( х - 10)) = 1
Решим уравнение:
12/х+12/(x - 10)=1 (умножим на х*(х-10)
12(х-10)+12x = 1*x(х-10)
12x-120+12x= х²-10х
12х-120+12х-х²+10х=0
-x²+34x-120 =0
x²-34x+120 =0
D=b²-4ac=(-34)²-4*1*120=1156-480=676
x₁=(-b+√D)/2a=-((-34)+26)/2=(34+26)/2=30
x₂=(-b-√D)/2a=-((-34)-26)/2=(34-26)/2=8/2=4 (не  подходит, т.к. меньше 10)
Тогда первый принтер печатает на 10 минут раньше:
х-10=30-10=20 (минут)
ответ : чтобы напечатать справочные материалы первому принтеру понадобится 20 минут.

1. В задании дана функция y = f(x). Вид данной функции f(x) определен дополнительным равенством f(x) = tgx. По требованию задания докажем равенство f(2 * x + 2 * π) + f(7 * π – 2 * x) = 0. По сути говоря, нам необходимо доказать равенство tg(2 * x + 2 * π) + tg(7 * π – 2 * x) = 0, чем и будем заниматься в дальнейшем.
2. Анализ равенства показывает, что в его левой части имеется сумма двух слагаемых, каждый из которых представляет собой значение тангенс функции для различных углов. Первое слагаемое, после применения переместительного свойства сложения к его аргументу, примет вид tg(2 * π + 2 * х), а формула приведения tg(2 * π + α) = tgα позволит его записать как tg(2 * x).
3. Для преобразования второго слагаемого вспомним о периодичности тангенс функции. Как известно, тангенс функция имеет наименьший положительный период, равный π. Следовательно, из аргумента выражения tg(7 * π – 2 * x) можно отбросить 7 * π. Тогда, tg(7 * π – 2 * x) = tg(-2 * x). Наконец, учитывая нечётность тангенс функции, левая часть доказываемого равенства примет вид: tg(2 * x) + tg(–2 * x) = tg(2 * x) - tg(2 * x) = 0. Что и требовалось доказать.