Задумали натуральное число и нашли его остатки при делении на 3, 6 и 9. сумма этих остатков оказалась равна 15. найдите остаток от деления задуманного числа на 18.

Остатки при делении числа на 3, 6 и 9 равны своим максимально возможным значениям 2, 5 и 8 соответственно (иначе их сумма была бы меньше 15).
Это значит, что задуманное число x можно  записать так:
x=3k+2
x=6m+5
x=9n+8
Из второго равенства следует, что x - нечетное число, а значит из третьего равенства следует, что n - тоже нечетное. Т.е. x=9(2s+1)+8=18s+17. Т.е. остаток от деления на  18 равен 17.