Докажите, что не существует такого значения k, при котором уравнение x²-2kx+k-3=0 имеет только один корень

Пусть это не так, то есть есть такое значение k при котором есть единственный корень

Квадратное уравнение имеет 1 корень, если дискриминант =0
D= 4k² -4(k-3)
4k²-4(k-3)=0
k²-k+3=0
D<0
парабола y=k²-k+3 ветви вверх и D<0, значит она расположена строго выше оси ОХ, значит k²-k+3>0  при всех k
пришли к противоречию. значит исх уравнение не имеет 1 корнеь при некоторм значении к