Пусть дан т-к АВС.
Продлим медианы на их длину ( см. рис)
По свойству диагоналей параллелограмма
АА1²+ВС²=2(АВ²+АС²)
и
СС1²+АВ²=2(АС²+ВС²)
Пусть АВ=с, ВС=а
Составим систему уравнений:
[(2*6√7)²+a²=2(c²+14²)
[(2*3√7)²+c²=2(14²+a²)
⇒
[ а²-2с²=2*14² -144*7
[-2а²+с²=2*14²-36*7 домножим на 2 обе стороны этого уравнения.
Сложим уравнения системы:
[а²-2с=2*14² -144*7
[-4а²+2с²=4*14²-72*7
-3а²=6*14²-216*7⇒
а²=112
а=4√7
Подставим найденное значение а в уравнение
а²-2с²=2*14² -144*7 ⇒
112+144*7-2*196=2 с²
с²=364
с=2√91
АВ=2√91
ВС=4√7
---------
Задачу можно решить по т. косинусов.
Медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
Тогда АО=4√7, CO=2√7
Из ∆ АОС
АС²=АО²+СО²-2*АО*СО*cos ∠АОС
cos ∠АОС=(АС²-АО²+СО²):(-2*АО*СО)
cos ∠АОС=[14²-(4√7)²-(2√7)²]:[-2*(4√7)*(2√7]
cos ∠АОС= -56:2*56= -1/2 - это косинус 120º
В ∆ СОК ∠ СОК =180°-120°=60°
ОК=АК:3=2√7
ОК=ОС, угол СОК=60°⇒
∆ СОК - правильный, СК=2√7,
ВС=2 СК=4√7
В Δ АМО ∠ МОА=∠ СОК=60°
АМ²=МО+АО-2*МО*АО*cos∠АОМ
АМ²=(√7)²+(4√7)²-2*(√7)*(4√7)*1/2*cos∠АОМ
АМ²=7+16*7-2*4*7*1/2
АМ²=91
АМ=√91
AB=2√91
Бином Ньютона: (a+b)^n=\displaystyle \sum^{n}_{k=0}C^k_na^{n-k}b^k(a+b)n=k=0∑nCnkan−kbk
Применяя формулу бинома Ньютона, мы получим
\begin{gathered}(3x+2a)^6=\displaystyle \sum^6_{k=0}C^k_6(3x)^{6-k}\cdot (2a)^{k}=C^0_6\cdot (3x)^{6-0}\cdot (2a)^0+\\ \\ +C^1_6\cdot (3x)^{6-1}\cdot (2a)^1+C^2_6\cdot (3x)^{6-2}\cdot (2a)^2+C^3_6\cdot (3x)^{6-3}\cdot (2a)^3+\\ \\ +C^4_6\cdot (3x)^{6-4}\cdot (2a)^4+C^5_6\cdot (3x)^{6-5}\cdot (2a)^5+C^6_6\cdot (3x)^{6-6}\cdot (2a)^6=\\ \\ =(3x)^6+6\cdot (3x)^5\cdot 2a+\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (3x)^4\cdot (2a)^2+\dfrac{6!}{3!3!}\cdot (3x)^3\cdot (2a)^3+\\ \\ +\dfrac{6!}{4!2!}\cdot (3x)^2\cdot (2a)^4+6\cdot 3x\cdot (2a)^5+(2a)^6=\end{gathered}(3x+2a)6=k=0∑6C6k(3x)6−k⋅(2a)k=C60⋅(3x)6−0⋅(2a)0++C61⋅(3x)6−1⋅(2a)1+C62⋅(3x)6−2⋅(2a)2+C63⋅(3x)6−3⋅(2a)3++C64⋅(3x)6−4⋅(2a)4+C65⋅(3x)6−5⋅(2a)5+C66⋅(3x)6−6⋅(2a)6==(3x)6+6⋅(3x)5⋅2a+4!2!6!⋅(3x)4⋅(2a)2+3!3!6!⋅(3x)3⋅(2a)3++4!2!6!⋅(3x)2⋅(2a)4+6⋅3x⋅(2a)5+(2a)6=
=729x^6+2916x^5a+4860x^4a^2+4320a^3x^3+2160x^2a^4+576xa^5+64a^6=729x6+2916x5a+4860x4a2+4320a3x3+2160x2a4+576xa5+64a6
Где разложения полинома:
\begin{gathered}a_1=729x^6\\ a_2=2916x^5a\\ a_3=4860x^4a^2\\ a_4=4320a^3x^3\\ a_5=2160x^2a^2\\ a_6=576xa^5\\ a_7=64a^6\end{gathered}a1=729x6a2=2916x5aa3=4860x4a2a4=4320a3x3a5=2160x2a2a6=576xa5a7=64a6
