Тригонометрические уравнения 1) 2cos²x - 5cosx + 2 = 0 2) 4sin²x + 4cosx - 1 = 0 3) sin3x + √3 cos3x = 0 4) √3 sinx + cosx = √2 5) решите уравнение 5cos²x - sin x cosx =2 и найдите его корни, принадлежащие интервалу (-п; п/2).

1) 2cos²x - 5cosx+2=0
Пусть cosx=y
2y²-5y+2=0
D=25-16=9
y₁=5-3=1/2
       4
y₂=5+3=2
       2
При у=1/2
cosx=1/2
x=+ π/3 +2πn, n∈Z

При у=2
cosx=2
Так как 2∉[-1; 1], то
уравнение не имеет корней.

ответ: + π/3 +2πn, n∈Z.

2) 4sin²x + 4cosx -1=0
4(1-cos²x)+4cosx -1=0
4-4cos²x +4cosx-1=0
-4cos²x+4cosx+3=0
4cos²x-4cosx-3=0
Пусть cosx=y
4y²-4y-3=0
D=16+4*4*3=16+48=64
y₁=4-8=-1/2
       8
y₂=4+8=3/2=1.5
       8
При у=-1/2
cosx=-1/2
x=+ 2π/3 +2πn, n∈Z

При у=1,5
cosx=1.5
Так как 1,5∉[-1; 1], то
уравнение не имеет решений.

ответ: + 2π/3 +2πn, n∈Z

3) sin3x+√3 cos3x =0
2(1 sin3x +√3 cos3x) =0
   2             2
1 sin3x + √3 cos3x =0
2              2
sin (π/6) sin3x + cos (π/6) cos3x=0
sin (π/6 +3x) =0
3x+ π/6 =πn, n∈Z
3x= -π/6 + πn, n∈Z
 x=-π/18 + πn, n∈Z
                 3
ответ: -π + πn, n∈Z
            18    3

4) √3 sinx + cosx =√2
    √3 sinx + 1  cosx = √2
      2           2               2
sin(π/3) sinx + cos(π/3) cosx=√2
                                                2
sin(π/3 +x)=√2
                   2
x+π/3 =(-1)^n * (π/4) + πn, n∈Z
x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈Z
ответ: x=-π/3 +(-1)^n * (π/4) +πn, n∈Z 

5) 5 cos²x - sinx cosx =2
   5cos²x - sinx cosx =2(cos²x+sin²x)
5cos²x-2cos²x - sinx cosx -2sin²x=0
-2sin²x - sinx cosx + 3cos²x =0
 2sin²x + sinx cosx - 3cos²x=0

2sin²x + sinx cosx - 3cos²x =    0   
  cos²x       cos²x       cos²x    cos²x
2tg²x +tgx-3=0
Пусть tgx=y
2y²+y-3=0
D=1+24=25
y₁=-1-5= -1.5
        4
y₂=-1+5=1
        4
При у=-1,5
tgx=-1.5
x=-arctg1.5+πn, n∈Z
При n=0
x=-arctg1.5

При у=1
tgx=1
x=π/4 + πn, n∈Z

На отрезке (-π; π/2):
-π <π/4 +πn< π/2
-π-π/4 < n < π/2 -π/4
-5π/4 < n < π/4
n=-1; 0

При n=-1
x=π/4 -π =-3π/4

При n=0
x=π/4
ответ: -arctg1.5; -3π/4;  π/4.