Со сборника полонского сап, , нужна в . числитель обыкновенной дроби на 7 меньше ее знаменателя. если числитель увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 4, то дробь увеличится на треть. найти дробь.

Числитель равен х, знаменатель (х+7). Дробь x/(x+7)
Дробь увеличится на треть - значит, она станет равна 4/3 от себя.
(x+1)/(x+3) = 4/3*x/(x+7) = 4x/(3x+21)
(x+1)(3x+21) = 4x(x+3)
3x^2 + 24x + 21 = 4x^2 + 12x
x^2 - 12x - 21 = 0
D/4 = 6^2 + 21 = 36 + 21 = 57
x1 = 6 - √57 < 0 - не подходит, x2 = 6 + √57
Дробь (6 + √57)/(13 + √57)
После изменения это будет (7 + √57)/(9 + √57)
Если разделить вторую дробь на первую, получим
(7 + √57)/(9 + √57) : (6 + √57)/(13 + √57) =
= (7 + √57)/(9 + √57) * (13 + √57)/(6 + √57) =
= [(7 + √57)(13 + √57)] / [(9 + √57)(6 + √57)] =
= (91 + 20√57 + 57) / (54 + 15√57 + 57) =
= (148 + 20√57)/(111 + 15√57) = (4*(37 + 5√57)) / (3*(37 + 5√57)) = 4/3
Все правильно.
ответ: (6 + √57)/(13 + √57)