Вычислите производная f(x) при данном значении аргумента x f(x)= arccos корень из 3x , x=1/9

Хорошо, давайте решим задачу по шагам.

Шаг 1: Запишем данное выражение:
f(x) = arccos(√(3x)).

Шаг 2: Возьмем производную данной функции f(x) по переменной x. Для этого применимся к правилу цепочки (chain rule).

Шаг 3: Найдем производную функции arccos(u), где u = √(3x), по переменной x.

Для этого сначала найдем производную функции arccos(u) по u, а затем найдем производную u по x и умножим их.

Производная функции arccos(u) по u равна -1/√(1-u^2).

Шаг 4: Теперь найдем производную u = √(3x) по x.

Производная √(3x) равна 3/2√(3x).

Теперь умножим производные двух функций:

d(arccos(u))/du * du/dx = -1/√(1-u^2) * 3/2√(3x).

Шаг 5: Подставим u = √(3x) и найдем производную f(x) по x.

f'(x) = -1/√(1-(√(3x))^2) * 3/2√(3x).

Шаг 6: Упростим выражение. Обратите внимание, что 1-(√(3x))^2 можно записать как 1-3x.

f'(x) = -1/√(1-3x) * 3/2√(3x).

Шаг 7: Подставим значение x=1/9 в полученное выражение.

f'(1/9) = -1/√(1-3(1/9)) * 3/2√(3(1/9)).

f'(1/9) = -1/√(1-1/3) * 3/2√(1/3).

Шаг 8: Упростим дальше и приведем выражение к более привычному виду.

f'(1/9) = -1/√(2/3) * 3/2√(1/3).

f'(1/9) = -1/√(2/3) * 3/(2√(1/3)).

Шаг 9: Умножим числитель и знаменатель на √(3/2) для упрощения выражения.

f'(1/9) = (-1/√(2/3)) * (3/(2√(1/3))) * (√(3/2)/√(3/2)).

f'(1/9) = -√(3/2) * (3 * √(3/2))/(2 * √(1/3) * √(3/2)).

f'(1/9) = -√(3/2) * (3 * √(3/2))/(2 * √(1/3 * 3/2)).

Шаг 10: Упрощаем дальше и получаем окончательный ответ.

f'(1/9) = -√(3/2) * (3 * √(3/2))/(2 * √(3/6)).

f'(1/9) = -3 * √(3/2) * √(3/2)/(2 * √(3/6)).

f'(1/9) = -3/2.

Таким образом, производная функции f(x) при x=1/9 равна -3/2.