11 класс. решите систему уравнений: 9^x*27^y=27 2^x/4^y=32

Решение
9^x*27^y=27
2^x/4^y=32

(3^2x)*(3^3y) = 3³
2^x/(2^2y) = 2⁵

3((2x + 3y) = 3³
2^(x - 2y) = 2⁵

2x + 3y = 3
x - 2y = 5    умножим на (-2)

 2x + 3y = 3
-2x + 4y = - 10
складываем уравнения
7y = - 7
y = - 1

2x - 3 = 3
2x = 6
x = 3

(3; - 1)

 

Давайте решим данную систему уравнений.

Для начала, заметим, что 9 = 3^2 и 27 = 3^3. Также, 4 = 2^2. Учитывая это, можем переписать уравнения следующим образом:

(3^2)^x * (3^3)^y = 3^3
(2^x)^2 / (2^2)^y = 2^5

Далее воспользуемся свойствами степеней. Для упрощения записи, обозначим 3^2 как a, 3^3 как b, 2^x как c и 2^2 как d:

a^x * b^y = b
c^2 / d^y = 2^5

Используя законы степеней, можем записать:

(a^x)^2 * b^y = b
c^2 / (d^y)^2 = 2^5

Видим, что и (a^x)^2 и (d^y)^2 равны квадратам обычных степеней a^x и d^y соответственно. Поэтому, продолжим упрощать:

(a^x * b^y) = b
(c^2 / d^2^y) = 2^5

Теперь, можно заметить, что выражение (c^2 / d^2^y) является отношением квадрата c^2 к квадрату d^2^y. Он равен 2^5 = 32. Значит:

(c^2) / (d^2^y) = 32

Однако, мы также знаем, что c = 2^x и d = 2^2 = 4. Подставим это в уравнение:

(2^x)^2 / (4^y) = 32

Возводя 2^x и 4^y в квадрат, получаем:

2^(2x) / 4^y = 32

Теперь мы можем заметить, что выражение 2^(2x) равно (2^x)^2. Заменим его в уравнении:

(2^x)^2 / 4^y = 32

По закону степеней 4^y = (2^2)^y = 2^(2y). Заменим это в уравнении:

(2^x)^2 / 2^(2y) = 32

Теперь, используя свойство степеней a^m / a^n = a^(m-n), можем записать:

2^x^(2-2y) = 2^5

Так как основание степени одинаковое, равенство возможно только в случае, когда показатели степени равны:

x^(2-2y) = 5

Используя свойство степеней a^(m-n) = a^m / a^n, можем записать:

x^2 / x^(2y) = 5

Так как x^2/x^(2y) = x^2 * (x^(2y))^(-1), можем переписать уравнение таким образом:

x^2 * 1/(x^(2y)) = 5

Теперь, сокращаем x^2 с x^(2y):

1/x^(2y) = 5

Избавимся от дроби, возводя обе части уравнения в степень -1:

(x^(2y))^(-1) = 5^(-1)

Теперь, используя свойство степеней (a^m)^n = a^(mn), получим:

x^(-2y) = 1/5

Вводим показательный вид числа x^(-2y):

1 / x^(2y) = 1/5

Теперь, сравнивая обе части уравнения, получим:

x^(2y) = 5

То есть, исходная система уравнений имеет решение x^(2y) = 5.

Обратите внимание, что полученное решение является более компактным и легким для восприятия, чем исходные уравнения.