Даны три квадратных трехчлена: p1(x), p2(x) и p3(x). докажите, что уравнение |p1(x)| + |p2(x)| = |p3(x)| имеет не более восьми корней.

Каждый корень данного уравнения является корнем одного из квадратных трёхчленов  ± P1 ± P2 ± P3  с некоторым набором знаков. Таких наборов 8, и все они дают действительно квадратные трёхчлены, так как коэффициент при x2 нечётен. Однако двум противоположным наборам знаков соответствуют квадратные уравнения, имеющие одни и те же корни. Значит, все решения уравнения 
|P1(x)| + |P2(x)| = |P3(x)|  содержатся среди корней четырёх квадратных уравнений. Следовательно, их не более восьми.