Надо прямоугольный лист жести имеет длину 64см и ширину 40см. из этого листа требуется изготовить открытую сверху коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая оставшиеся боковые полосы под прямым углом к основанию. какими следует взять стороны вырезаемых квадратов, чтобы вместимость коробки оказалась максимальной.

V=(40-X)(64-X)X - функция.
найти максимум, х∈(0, 40).
найдем производную от V=(40-X)(64-X)X=х³-104х²+2560х
она равна 3х²-208х+2560
найдем стационарные точки , приравняв производную к 0 , и решив кв. ур-ние             3х²-208х+2560=0
1)  х=(104+√(104²-3·64·40))/3=(104+√((8·13)²-3·64·40)))/3=
=(104+√(8²(13²-3·40)))/3=(104+8√(13²-3·40))/3=(104+8√(169-120))/3=
=(104+8·7)/3=160/3

2) х=(104-√(104²-3·64·40))/3=(104-56)/3=16
ОСТАЛОСЬ по достаточному условию экстремума убедиться, что  х=16 - точка максимума, проверяем знаки производной при переходе через эту точку, решаем неравенство 3х²-208х+2560>0, или простыми вычислениями для значений х из соответствующих промежутков.)

вот как-то так...-))

Давайте разберемся в этой задаче шаг за шагом.

1) Вначале рассмотрим исходный лист жести с длиной 64 см и шириной 40 см. Будем вырезать по углам листа равные квадраты.

2) Давайте обозначим сторону каждого вырезаемого квадрата с помощью переменной "х". Тогда каждый квадрат будет иметь сторону "х" см.

3) Теперь мы можем определить размеры будущей коробки. После вырезания квадратов по углам листа, у нас останутся 4 полосы, которые мы сможем загнуть их под прямым углом к основанию. Длина этих полос будет равна (64 - 2х) см, а ширина - (40 - 2х) см.

4) Чтобы найти вместимость коробки, нужно умножить длину, ширину и высоту коробки. В данном случае высота коробки будет равна "х" см.

5) Получим следующую формулу для объема коробки: V = х * (64 - 2х) * (40 - 2х)

6) Для определения максимальной вместимости коробки нужно найти максимальное значение этой формулы. Для этого воспользуемся процессом дифференцирования.

7) Производная от функции V будет равна: V' = (64 - 2х) * (40 - 2х) + х * (-2 -2) = 2(140 - 48х + х²)

8) Чтобы найти максимальное значение V, нам нужно найти значение "х", при котором производная V' равна нулю.

9) Решим уравнение 2(140 - 48х + х²) = 0 и найдем значения "х".

140 - 48х + х² = 0
х² - 48х + 140 = 0

10) Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта.

D = (-48)² - 4 * 1 * 140 = 2304 - 560 = 1744

11) Так как дискриминант D больше нуля, то у нас есть два различных значения "х", которые являются корнями этого уравнения.

12) Найдем эти значения, используя формулу дискриминанта:

х = (-(-48) ± √1744) / 2 * 1
= (48 ± √1744) / 2
= 24 ± √436

13) Мы получили два значения: 24 + √436 и 24 - √436. Они представляют стороны квадратов, которые нужно вырезать по углам листа, чтобы вместимость коробки была максимальной.

Итак, чтобы вместимость коробки была максимальной, следует взять стороны вырезаемых квадратов равными 24 + √436 см и 24 - √436 см.