Докажите что при любом целом n значение выражения 1)(2n+1)²+1 кратно 8

Это утверждение неверно так как, например, не выполняется при n = 1.

Верно будет такое утверждение:  при любом целом n значение выражения 
(2n+1)² - 1 кратно 8.

Доказательство:
(2n + 1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n(n + 1)

n, n + 1 - два последовательных числа, одно из них обязательно будет чётным. Значит, n (n + 1) при любых целых n делится на 2, а 4n(n + 1) - на 8.