Срешением уравнения (∛x)²-3(∛x)-10=0 я решал введением новой переменной и корни получились x=-8 и x=125, но один мой друг утверждает, что какой-то из корней при подстановке не подходит.

(∛x)²-3(∛x)-10=0
Пусть t = ∛x.
t² - 3t - 10 = 0
По оьартной теореме Виета:
t1 + t2 = 3
t1•t2 = -10
t1 = 5 и t2 = -2.
Обратная замена:
∛x = 5 и ∛х = -2
х = 5³ и х = -2³
х = 125 и х = -8
ответ: х = -8; 125.

Ваш друг, вероятно, не знает, что свойства корня третей степени отличаются от свойств квадратного корня. Корень нечётной степени может принимать как положительные, так и отрицательные значения.