Указывая период,как определить, где прибавлять 2pik, где просто pik?

Пусть a ≠ -1; 0; 1.
Ниже будут общие формулы для решений тригонометрических уравнений (для sinx и cosx |a| < 1, a ≠ 0)

sinx = a
x = (-1)ⁿarcsina + πk, k ∈ Z

sinx = -a
x = (-1)ⁿ⁺¹arcsina + πk, k ∈ Z

cosx = a 
x = ±arccosa +  2πk, k ∈ Z

cosx = -a
x = ±(π - arccosa) + 2πk, k ∈ Z

tgx = a
x = arctga + πk, k ∈ Z

tgx = -a
x = -arctga + πk, k ∈ Z

ctgx = a 
x = arcctga + πk, k ∈ Z

ctgx = -a
x = -arcctga + πk, k ∈ Z

Особые случаи:

sinx = -1
x = -π/2 + 2πk, k ∈ Z

sinx = 0
x = πk, k ∈ Z

sinx = 1 
x = π/2 + 2πk, k ∈ Z

cosx = -1
x = π + 2πk,  k ∈ Z

cosx = 0
x = π/2 + πk,  k ∈ Z

cosx = 1
x = 2πk,  k ∈ Z 

tgx = -1 и ctgx = -1 равносильны:
x = -π/4 + πk, k ∈ Z

tgx = 0
x  = πk, k ∈ Z

ctgx = 0 
x = π/2 + πk, k ∈ Z

tgx = 0 
x = πk, k ∈ Z

tgx = 1 и ctgx = 1 равносильны:
x = π/4 + πk, k ∈ Z

P.s.: наименьший положительный период синуса и косинуса - 2π, тангенса и котангенса - π.