На столе стоят шесть столбиков монет. в первом столбике одна монета, во втором — две, в третьем — три, в шестом — шесть. разрешается на любые два столбика положить по монете. можно ли за несколько таких операций сделать все столбики одинаковыми?

Определим текущее число монет на столе:

После каждой операции на стол добавляется по две монеты, таким образом, после k операций на столе окажется  монет.
Если через несколько операций все столбики станут одинаковыми, то это будет означать, что получившееся число монет будет делиться на 6: .
Получаем соотношение:

Правая часть равенства кратна двум, в то время как 21 - нечетное число. Противоречие. Значит, с таких операций сделать все столбики одинаковыми нельзя.
ответ: нет, нельзя