3. докажите, что при любом значении x квадратный трехчлен x2+3x+7 принимает только положительные значения.
4. докажите, что при любом значении x квадратный трехчлен −3x2+6x−5 принимает только положительные значения.
5. имеет ли квадратный трехчлен корни и если имеет то сколько: а)−x2+7x−13 б)x2−5x−84 в)16x2+56x+49

Выразим y обоих случаях:

 

y = 1/2*x² - 1/2

 

у=x+1

 

Найдем точки соприкосновения графиков:

 

х+1 = 1/2*x² - 1/2

2х+2 = х² -1

х²-1-2х-2=0

х²-2х-3=0

D = 4+12=16 - 2 корня

х1 = (2+4)/2 = 3

х2= (2-4)/2 = -1

 

Таким образом, графики фунции пересеаются в двух точках х=-1 и х=3, причем график функции у=x+1 будет расположен выше графика функции y = 1/2*x² - 1/2 на этом отрезке.

 

Теперь можем найти площадь фигуры:

 

S = ∫₋₁³ (x+1-(1/2*x² - 1/2))dx = ∫₋₁³ (x+1-1/2*x² + 1/2 )dx = ∫₋₁³ (x-1/2*x² +3/2)dx = (1/2*x²  - 1/6*x³+ 3/2*x) |₋₁³ = (9/2 - 27/6 +9/2) - (1/2 + 1/6 - 3/2) = 9/2 +5/6 = 27/6 + 5/6 = 32/6 = 16/3 = 5ц1/3

а) x²-5x-14=0
Найдём дискриминант:
D=(-5)²-4*1*(-14)=25+56=81=9²
т.к D>0,то уравнение имеет 2 корня:
x1=5+9/2=14/2=7    x2=5-9/2= -4/2= -2
б) x²-x-6=0
D=(-1)²-4*1*(-6)=1+24=25=5²
x1=1+5/2=6/2=3   x2=1-5/2= -4/2= -2
в) x²+4x-21=0  
D=4²-4*1*(-21)=16+84=100=10
x1= -4+10/2=6/2=3    x2= -4-10/2= -14/2= -7
г)x²+x=12
x²+x-12=0
D=1²-4*1*(-12)=1+48=49=7²
x1= -1+7/2=6/2=3  x2= -1-7/2= -8/2= -4
д) 2x²-10x=0
D=(-10)²-4*2*0=100=10²
x1=10+10/4=20/4=5  x2=10-10/4=0/4=0
е)x²-7x-18=0
D=(-7)-4*1*(-18)=49+72=121=11²
x1=7+11/2=18/2=9  x2=7-11/2= -4/2= -2
ж) x²+7x-18=0
D=7²-4*1*(-18)=49+72=121=11²
x1= -7+11/2=4/2=2    x2= -7-11/2= -18/2=9
з) x²+3x-18=0
D=3²-4*1*(-18)=9+72=81=9²
x1= -3+9/2=6/2=3  x2= -3-9/2= -12/2= -6
и)3x²+18x=0
D=18²-4*3*0=324=18²
x1= -18+18/6=0/6=0      x2= -18-18/6= -36/6= -6