Трое задумали по двухзначному числу. зачем каждые двое сыграли в такую игру: они сравнили первые цифры своих чисел, и тот, у кого цифра больше, дал другому столько щелчков, насколько больше его цифр, затем проделали то же самое со вторыми цифрами. могло ли так случиться, что всего не сделали 23 щелчка?

Не могло. Количество щелчков должно быть четным.
Пусть они задумали числа (10a+b); (10c+d); (10e+f), причём
aНапример, это числа 12, 47 и 89.
Тогда количество щелчков равно
(10c-10a)+(10e-10c)+(10e-10a)+(d-b)+(f-d)+(f-b) = 20e-20a+2f-2b
То есть число чётное. 23 щелчка быть не могло.