Докажите что при любом натуральном ^n значение выражения : 15^n+13 кратно 7 9^n + 5^n-2 кратно 4 5*25^n+ 13*13^2n кратно 9 21^n + 4^n+2 кратно 17

Будем доказывать методом мат. индукции.

1) F(n) = 15^n + 13,
при n=1 получаем
15+13 = 28 кратно 7.
предположим, что выражение кратно 7 при любом натуральном k≤n, то есть, что
F(k) = 15^k + 13 = 7*A, где А - целое, k<=n,
тогда покажем, что это выражение F(k+1) также кратно 7.
F(k+1) = 15^(k+1) + 13 = 15*15^k + 13 = (14+1)*15^k + 13 = 14*(15^k) + 
+ 15^k + 13 = 14*(15^k) + 7*A = 7*(2*15^k  + A). 
По методу мат. индукции мы доказали, что F(n) кратно 7 при любом натуральном n.

2) F(n) = 9^n + 5^n -2,
F(1) = 9 + 5 - 2 = 14 - 2 = 12 = 4*3, кратно 4.
Предположим, что для любого натурального k<=n F(k) кратно 4, то есть
F(k) = 9^k +5^k - 2 = 4*B,
Покажем тогда, что F(k+1) кратно 4:
F(k+1) = 9^(k+1) + 5^(k+1) - 2 = 9*(9^k) + 5*(5^k) - 2 = (8+1)*(9^k) +
+ (4+1)*(5^k) - 2 = 8*(9^k) + 9^k + 4*(5^k) + 5^k -2 = 
= 8*(9^k) + 4*(5^k) + ( 9^k + 5^k - 2) = 8*(9^k) + 4*(5^k) + 4*B = 
 = 4*( 2*(9^k) + 5^k + B), последнее выражение в скобках очевидно целое, поэтому результат кратен 4.

3) F(n) = 5*(25^n) + 13*(13^(2n))
F(1) = 5*25 + 13*(13^2) = 125 + 13*169 = 125 + 2197 = 2322 = 9*258.
Предположим, что для любого k<=n F(k) кратно 9, то есть
F(k) = 5*(25^k) + 13*(13^(2k)) = 9*C,
тогда покажем, что F(k+1) кратно 9:
F(k+1) = 5*(25^(k+1)) + 13*( 13^(2*(k+1)) ) = 5*25*(25^k) + 13*(13^(2k+2)) = 
= 5*25*(25^k) + 13*(13^2)*(13^(2k)) = 5*(27-2)*(25^k) + 13*(169)*(13^(2k)) = 
= 5*27*(25^k) - 2*5*(25^k) + 13*(171-2)*(13^(2k)) = 
= 5*27*(25^k) - 2*5*(25^k) + 13*171*(13^(2k)) - 2*13*(13^(2k)) = 
= ( 5*27*(25^k) + 13*171*(13^(2k)) ) - 2*( 5*(25^k) + 13*(13^(2k)) ) = 
= 9*( 5*3*(25^k) + 13*19*(13^(2k)) ) - 2*(9*C) = 
= 9*( 5*3*(25^k) + 13*19*(13^(2k)) - 2*C ) и
F(k+1) кратно 9.

4) F(n) = 21^n + 4^(n+2)
F(1) = 21+ 4^3 = 21+64 = 85 = 17*5.
Предположим, что F(k) кратно 17 при любом натуральном k<=n, то есть
F(k) = 21^k  + 4^(k+2) = 17*Q, где Q -целое,
Покажем тогда, что F(k+1) тоже кратно 17:
F(k+1) = 21^(k+1) + 4^( (k+1)+2 ) = 21*(21^k) + 4^(k+2+1) = 
= (17+4)*(21^k) + 4*(4^(k+2)) = 17*(21^k) + 4*(21^k) + 4*(4^(k+2)) = 
= 17*(21^k) + 4*( 21^k  + 4^(k+2)) = 17*(21^k) + 4*17*Q = 
= 17*( (21^k) + 4*Q ),
если k и Q - целые, то выражение в последних скобках тоже целое, и F(k+1) кратно 17.