Доказать признак делимость на 11. нужно объяснить, вот эти строчки
11(b + 10с + 100d +
а - b - 10(c + 10d +
a - b + c + 10(d +
a - b + c - d + = (а + с + - (b + d +

весьма облегчает отыскание признаков, по которым можно заранее, не выполняя деления, установить, делится ли данное число на тот или иной делитель. признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 общеизвестны. выведем признак делимости на 11; он довольно прост и практичен.

пусть многозначное число n имеет цифру единиц а, цифру десятков b, цифру сотен с, цифру тысяч d и т. д., т. е.

n = а + 10b + 100с + 1000d + = a + 10 (b + 10c + 100d +
где многоточие означает сумму дальнейших разрядов. вычтем из n число 11(b + 10с + 100d + кратное одиннадцати. тогда полученная разность, равная, как легко видеть,

а - b - 10(c + 10d +
будет иметь тот же остаток от деления на 11, что и число n. прибавив к этой разности число ll(c + 10d + кратное одиннадцати, мы получим число

a - b + c + 10(d +
также имеющее тот же остаток от деления на 11, что и число n. вычтем из него число 11(d + кратное одиннадцати, и т. д. в результате мы получим число

a - b + c - d + = (а + с + - (b + d +
имеющее тот же остаток от деления на 11, что и исходное число n.

отсюда вытекает следующий признак делимости на 11: надо из суммы всех цифр, стоящих на нечетных местах, вычесть сумму всех цифр, занимающих четные места; если в разности получится 0 либо число (положительное или отрицательное), кратное 11, то и испытуемое число кратно 11; в противном случае наше число не делится без остатка на 11.