6.докажите, что при любом натуральном n значение выражения 10ⁿ+19ⁿ-2 кратно 9.

По теореме Эйлера:
 1) при делении 10 на 9  ---> остаток 1, 
  заменяем 10 на остаток=1, имеем 1^n
2)  при делении 19 на 9 имеем остаток 1, заменяем 19 на 1,
     имеем 1^n
3)  при делении 2 на 9 > остаток 2

    остаток =
1^n+1^n-2=1+1-2=0
 вывод:       остаток =0, значит данное выражение кратно 9.