Найдите два положительных числа, таких, что сумма их квадратов равна 300, а произведение одного из них на квадрат второго дает наибольшее значение

Числа: a и b 
a² + b² = 300 ---> b² = 300 - a² 
a*b² ---> max
f(a) = a(300 - a²) --->max
f '(a) = 300 - 3a² = 0 (условие нахождения экстремума) 
a² = 100 ---> a = 10 (положительное) 
b² = 300-100 = 200
b = 10√2

Task/28653336

Найдите два положительных числа, таких, что сумма их квадратов равна 300, а произведение одного из них на квадрат второго дает наибольшее значение

решение :
{ x > 0 , y > 0 , x² + y² =300 , f(x) = x*y²  → max 
{ x > 0 , y > 0 , y² =300 - x² , f(x) = x(300 - x²) → max 
f(x) = x(300 - x²) =300x - x³ ;
f ' (x) =(300x - x³) ' = (300x ) ' - (x³) ' =300 - 3x² =3(100 - x²) =3(10- x) (10+x) 

f '(x)          " - "                        " + "                         " - "   
 (-10) (10)
f(x)   (убывает) ↓            ↑ (возрастает)          ↓ (убывает) 
                              min                            max   

x = 10  ⇒  y = √(300 -x²) = √(300 -10²) =  √200  = 10√2 .

ответ :  10 ; 10√2 .