Формулировка и доказательство теоремы косинусов
Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора для произвольного треугольника.
Формулировка теоремы косинусов
Для плоского треугольника со сторонами a,b,c и углом α, противолежащим стороне a, справедливо соотношение:
Теорема косинусов
Изображение для пояснения сути теоремы косинусов - квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное их произведение на косинус угла между ними
Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного их произведения, умноженного на косинус угла между ними
Полезные формулы теоремы косинусов:
Полезные формулы теоремы косинусов - сама теорема, нахождение косинуса угла по трем сторонам и нахождение самого угла по трем сторонам треугольника
Как видно из указанного выше, с теоремы косинусов можно найти не только сторону треугольника по двум сторонам и углу между ними, можно, зная размеры всех сторон треугольника, определить косинусы всех углов, а также вычислить величину любого угла треугольника. Вычисление любого угла треугольника по его сторонам является следствием преобразования формулы теоремы косинусов.
Доказательство теоремы косинусов
Теорема Косинусов
Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Предположим, что нам известна величина стороны AC (она равна некому числу b), величина стороны AB (она равна некому числу c) и угол между этими сторонами, величина которого равна α. Найдем величину стороны BC (обозначив ее длину через переменную a)
Для доказательства теоремы косинусов проведем дополнительные построения. Из вершины C на сторону AB опустим высоту CD.
Найдем длину стороны AB. Как видно из рисунка, в результате дополнительного построения можно сказать, что
AB = AD + BD
Найдем длину отрезка AD. Исходя из того, что треугольник ADC является прямоугольным, нам известны длина его гипотенузы (b) и угол (α) то величину стороны AD можно найти из соотношения его сторон, пользуясь свойствами тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
AD / AC = cos α
откуда
AD = AC cos α
AD = b cos α
Длину стороны BD найдем как разность AB и AD:
BD = AB - AD
BD = c − b cos α
Теперь запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
для треугольника BDC
CD2 + BD2 = BC2
для треугольника ADC
CD2 + AD2 = AC2
Обратим внимание на то, что оба треугольника имеют общую сторону - CD. Определим ее длину для каждого треугольника - вынесем ее значение в левую часть выражения, а остальное - в правую.
CD2 = BC2 - BD2
CD2 = AC2 - AD2
Поскольку левые части уравнений (квадрат стороны CD) равны, то приравняем правые части уравнений:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Исходя из сделанных ранее вычислений, мы уже знаем что:
AD = b cos α
BD = c − b cos α
AC = b (по условию)
А значение стороны BC обозначим как a.
BC = a
(Именно его нам и нужно найти)
Получим:
BC2 - BD2 = AC2 - AD2
Заменим буквенные обозначения сторон на результаты наших вычислений
a2 - ( c − b cos α )2 = b2 - ( b cos α )2
перенесем неизвестное значение (а) на левую сторону, а остальные части уравнения - на правую
a2 = ( c − b cos α )2 + b2 - ( b cos α )2
раскроем скобки
a2 = b2 + c 2 - 2c b cos α + ( b cos α )2 - ( b cos α )2
получаем
a2 = b2 + c 2 - 2bc cos α
Теорема косинусов доказана.
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Алгоритмы и примеры решения системы уравнений:
Алгоритм решения системы линейных уравнений подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, Х через У. (можно и У через Х) . 2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной. 3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение. 4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения. 5. Выполнить проверку полученного решения.
Пример
Решить систему уравнений: {Х+2*У =12{2*Х-3*У=-18
Решение: 1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную Х. Имеем Х= (12 -2*У) ; 2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*Х-3*У=-18; 2*(12 -2*У) – 3*У = -18; 24 – 4*У– 3*У = -18;
3. Решаем полученное линейное равнение: 24 – 4У – 3*У =-18; 24-7*У =-18; -7*У = -42; У=6;
4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. Х= (12 -2*У) ; Х=12-2*6 = 0; Х=0;
5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему. {Х+2*У=12;{2*Х-3*У=-18;{0+2*6 =12;{2*0-3*6=-18;{12 =12;{-18=-18;
Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.
ответ: (0,6)
Алгоритм решения алгебраического сложения
Алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя неизвестными сложения.
1. Если требуется, путем равносильных преобразований уравнять коэффициенты при одной из неизвестных переменных в обоих уравнениях. 2. Складывая или вычитая полученные уравнения получить линейное уравнение с одним неизвестным 3. Решить полученное уравнение с одним неизвестным и найти одну из переменных. 4. Подставить полученное выражение в любое из двух уравнений системы и решить это уравнение, получив, таким образом, вторую переменную. 5. Сделать проверку решения.
Пример решения алгебраического сложения
Для большей наглядности решим сложения следующую систему линейных уравнений с двумя неизвестными:
{3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12;
Так как, одинаковых коэффициентов нет ни у одной из переменных, уравняем коэффициенты у переменной у.
Для этого умножим первое уравнение на три, а второе уравнение на два.
{3*Х+2*У=10 |*3{5*Х + 3*У = 12 |*2
Получим следующую систему уравнений: {9*Х+6*У = 30;{10*Х+6*У=24;
Теперь из второго уравнения вычитаем первое.
Приводим подобные слагаемые и решаем полученное линейное уравнение. 10*Х+6*У – (9*Х+6*У) = 24-30; Х=-6;
Полученное значение подставляем в первое уравнение из нашей исходной системы и решаем получившееся уравнение. {3*(-6) + 2*У =10;{2*У=28; У =14;
Получилась пара чисел Х=6 и У=14.
Проводим проверку.
Делаем подстановку. {3*Х + 2*У = 10;{5*Х + 3*У = 12;{3*(-6) + 2*(14) = 10;{5*(-6) + 3*(14) = 12;{10 = 10;{12=12;
Как видите, получились два верных равенства, следовательно, мы нашли верное решение. ответ: (6, 14)
