Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями: y₁=x+2 , y₂=2x - (x^2/2) + 6
или y = -0,5х² + 2x + 6 и y=x+2
для выявления пределов интегрирования найдём точки пересечения графиков этих двух функций, приравняв их правые части
-0,5х² + 2x + 6 = x + 2
-0,5х² + x + 4 = 0
или
-х² + 2х + 8 = 0
D = 4 + 32 = 36
√D = 6
x₁ = (-2 + 6):(-2) = -2
x₂ = (-2 - 6):(-2) = 4
Итак, интегрируем в пределах: -2 и 4.
Теперь надо решить, какая из функций проходит выше другой
найдём вершину параболы f(x) = -0.5х² + 2х + 6
m = -2:(-1) = 2; n = -2+ 4 + 6 = 8
в точке х = 2 прямая y=x+2 имеет у =4, а кривая y = -0.5х² + 2х + 6 имеет у = 8
в точке x₁ = -2 и в точке x₂ = 4 значения обеих функций совпадают.
Очевидно, что парабола в интервале от -2 до 4 проходит выше.
Находим интеграл
∫(у₂ - у₁)dx = ∫(-0.5х² + 2х + 6 - (x+2))dx =
= ∫(-0.5х² + х + 4)dx =
= -х³/6 + х²/2 + 4x
Подставим пределы и вычислим площадь
S = 8/6 + 4/2 - 4·2 - (-64/6 + 16/2 + 4·4) =
= 4/3 + 2 - 8 + 32/3 - 8 + 16 = 14
ответ: S = 14
Пусть х км/ч - скорость первого автомобиля, а S - расстояние от А до В, тогда время в пути первого автомобиля равно S/х часов. Второй автомобиль первую половину пути ехал со скоростью (х-10) км/ч и потратил на это S/2(х-10) часов, на вторую половину пути он затратил S/(2*60)=S/120 часов. Весь путь был пройден автомобилями за S/х или S/2(х-10)+S/120 часов. Составим и решим уравнение:
S/х=S/2(х-10)+S/120 |*120x(x-10)/S (из условия ясно, что S>0)
120(x-10)=60x+x(x-10)
120x-1200=60x+x^2-10x
x^2+50x-120x+1200=0
x^2-70x+1200=0
по теореме Виета:
x1=40 x2=30<39 (не удовлетворяет условию)
ответ: скорость первого автомобиля 40 километров в час.
