По определению, производная есть предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, при условии стремления этого приращения аргумента к нулю.
Для функции тангенса имеем:
Преобразуем разность тангенсов по формуле 
:
Рассмотрим предел произведения как произведение пределов:
Значение первого предела-сомножителя равно 1 (первый замечательный предел). Вычисляя второй предел-сомножитель, получим итоговый результат:
Таким образом:
![y=tgx\\\\y'=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits _{\Gelta x \to 0}\frac{tg(x+\Delta x)-tgx}{\Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin(x+\Delta x-x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cosx\cdot \Delta x}=\\\\=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{sin\Delta x}{\frac{1}{2}\cdot (\, cos(x+\Delta x+x)+cos(x+\Delta x-x)\, )\cdot \Delta x}=\lim\limits _{\Delta x \to 0}\frac{2\Delta x}{\Delta x\cdot (\, cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x\, )}=\\\\=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{2}{cos(2x+\Delta x)+cos\Delta x}=\Big [\, \Delta x\to 0\, \Big ]=\frac{2}{cos2x+cos0}=\frac{2}{cos2x+1}=\\\\=\frac{2}{2cos^2x}=\frac{1}{cos^2x}\\\\(tgx)'=\frac{1}{cos^2x}](/tpl/images/0947/9154/8dfda.png)
