Решите
1)разложить на множ
2)пред. в виде десят дроби
3)пред.в виде обык дроби

y = |x - 2| + |x + 1|

Нужно найти точки, в которых выражения под модулем меняют знак.

x - 2 = 0;   x₁ = 2;      x + 1 = 0;    x₂ = -1

Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала.

1) x ∈ (-∞; -1]

y = |x - 2| + |x + 1| = -x + 2 - x - 1 = -2x + 1;

y = -2x + 1 - линейная функция. Точки для построения

x₁ = -2;  y₁ = 5;   x₂ = -1;  y₂ = 3

2) x ∈ (-1; 2)

y = |x - 2| + |x + 1| = -x + 2 + x + 1 = 3;

y = 3 - линейная функция. График - прямая, параллельная OX

3) x ∈ [ 2; +∞)

y = |x - 2| + |x + 1| = x - 2 + x + 1 = 2x - 1;

y = 2x - 1 - линейная функция. Точки для построения

x₁ = 2;  y₁ = 3;   x₂ = 3;  y₂ = 5

1. Определяем значения функции на границах отрезка:
f(-3) = (-3)³ - 8*(-3)² + 17 = -27-72+17 = -82
f(3) = 3³ - 8*(3)² + 17 = 27-72+17 = -28

Наименьшее из них - -82 при x=-3.

2. Определим точки максимума и минимума (экстремума) функции. Для этого вычислим первую производную и найдем ее корни:

f'(x) = 3x²-16x = x(3x-16)

Корни: x=0, x=16/3.
При этом на промежутке от -∞ до 0 первая производная положительна, на отрезке между корнями - отрицательна, и от 16/3 до +∞ - вновь положительна.
Это означает, что на отрезке между корней функция f(x) убывающая, а на лучах вне отрезка [0; 16/3] - возрастающая.

При этом при x=0 функция f(x) имеет локальный максимум (f(x)=17), а при x=16/3 - локальный минимум.
Но корень x=16/3=5 1/3 > 3 находится вне отрезка [-3; 3], поэтому не влияет на наименьшее значение функции на заданном отрезке.
На заданном отрезке функция f(x) возрастает на промежутке [-3; 0] и убывает на промежутке [0; 3]. Значит, наименьшее значение она может принимать только на границах отрезка.

ответ: наименьшее значение функция принимает при x=-3. Значение - -82.