Предположим обратное: x₀ является корнем уравнения. Тогда F(x₀) = G(x₀) = H(x₀) = N, N ≠ 0. Тогда получаем, что в исходном уравнении ![\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}+\sqrt[3]{N}=3\sqrt[3]{N}=0](/tpl/images/0953/8547/8652f.png)
. Раз N ≠ 0, то и ![\sqrt[3]{N} \neq 0](/tpl/images/0953/8547/bf40c.png)
. Получается, что ни один из множителей не равен нулю, но произведение в итоге стало нулём. Получили противоречие, значит, такого быть не может - x₀ не является корнем уравнения.
Необходимость: Дано уравнение ![\sqrt[3]{F(x)} + \sqrt[3]{G(x)} + \sqrt[3]{H(x)} = 0](/tpl/images/0953/8547/22988.png)
. Дан 
- корень уравнения ![F(x) + G(x) + H(x) = 3\sqrt[3]{F(x)G(x)H(x)}](/tpl/images/0953/8547/e646d.png)
и ![\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} \neq 0](/tpl/images/0953/8547/2d1ef.png)
.
Доказать что 
.
Предположим что 
.
Тогда, ![\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 0](/tpl/images/0953/8547/f5a5b.png)
. Противоречие.
Предположим, что равенство не выполняется. Тогда 
и ![3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)} \neq 3F(x_0) \text{ or } 3G(x_0) \text{ or } 3H(x_0)](/tpl/images/0953/8547/bb258.png)
.
Следовательно, не будет выполнятся ![F(x_0) + G(x_0) + H(x_0) \neq 3\sqrt[3]{F(x_0)G(x_0)H(x_0)}](/tpl/images/0953/8547/f8e53.png)
. Но корень данного уравнения. Противоречие.
Достаточность: .
Тогда
![\sqrt[3]{F(x_0)} + \sqrt[3]{G(x_0)} + \sqrt[3]{H(x_0)} = 3\sqrt[3]{F(x_0)} \neq 0](/tpl/images/0953/8547/c98d4.png)
