1. найдите остаток от деления: а) 273273 на 7; б) 159951 на 13; в) 1232132123 на 17; г) 799 + 11 на 19; д) ..12 на 11; е) на 3. 2. докажите, что если a+b делится на n, и n - нечетно, то и число делится на n. 3. пусть p - простое число. докажите, что для любых целых a и b (a+b)p ≡ ap+bp(modp). 4. пусть p - простое число. докажите, что если аp≡bp(modp), то a≡b(modp). 5. пусть p - простое число. докажите, что если a≡b(modpn), то ap≡bp(modpn+1). 6. пусть p - простое число. докажите, что если ap-bp делится p, то и делится на p (то же верно и без предположения простоты p, но и доказать это труднее). 7. докажите, что если а+b+с делится на 30, то а5+b5+с5 делится на 30. 8. пусть т - простое число, а - целое число, причем a≠0(modm). докажите, что существует такое целое b, что аb ≡ 1(modm). обобщите это утверждение на случай составного m. 9. пусть р - простое число. докажите, что (p-1)! ≡-1(modp) (указание: для каждого целого а, 2 ≤ а ≤ р - 2 найдите такое целое b, 2≤ b ≤ р-2 , что а ≠b,аb ≡ 1( 10.пусть а, m1, - целые числа, причем m1, mk попарно взаимно просты. докажите, что существует такое целое число x, что х ≡ а (modm1), х ≡ 0( .x ≡ 0(тоdтк). 11. пусть a1, a2, , ak, m1, m2, mk - целые числа, причем числа m1, m2, mk попарно взаимно просты. докажите, что существует такое целое число х, что (указание: воспользуетесь результатом 10.) примечание. утверждение i 1 - это так называемая «китайская теорема об остатках».