Найти: f' ( 1/9 ) , если f(x) = 4 \sqrt{x} + 1/10xf' ( 1 ) , если f(x) = 3( x^{2} + 2) \sqrt{x}

Чтобы найти производную функции f(x) и вычислить ее значение в точке x = 1/9, используем правила дифференцирования.

Дано: f(x) = 4√x + (1/10)x * f'(1), если f(x) = 3(x^2 + 2)√x

1. Найдем производную функции f(x) по правилу дифференцирования функций суммы и разности:
f'(x) = (4√x)' + ((1/10)x * f'(1))'

2. Дифференцируем первое слагаемое (4√x) по правилу дифференцирования функции произведения:
(4√x)' = 4 * (√x)'
= 4 * (1/2) * x^(-1/2)
= 2x^(-1/2)

3. Дифференцируем второе слагаемое ((1/10)x * f'(1)) по правилу дифференцирования функции произведения:
((1/10)x * f'(1))' = ((1/10)x)' * f'(1) + (1/10)x * (f'(1))'
= (1/10) * f'(1) + (1/10)x * (f'(1))'

4. Найдем производную функции f(x) = 3(x^2 + 2)√x по правилу дифференцирования функции произведения:
f'(x) = 3 * ((x^2 + 2)√x)'
= 3 * ((x^2 + 2)' * √x + (x^2 + 2) * (√x)')
= 3 * (2x * √x + (x^2 + 2) * (1/2) * x^(-1/2))
= 3 * (2x√x + (x^2 + 2) * x^(-1/2))
= 3 * (2x√x + x^3/2 + 2x^(-1/2))

5. Подставим полученные значения в выражение для производной функции f(x):
f'(x) = 2x^(-1/2) + (1/10) * f'(1) + (1/10)x * (f'(1))'
= 2x^(-1/2) + (1/10) * f'(1) + (1/10)x * (3 * (2x√x + x^3/2 + 2x^(-1/2)))'

6. Решим производную выражения (3 * (2x√x + x^3/2 + 2x^(-1/2)))' по правилу дифференцирования функции суммы и разности:
(3 * (2x√x + x^3/2 + 2x^(-1/2)))' = (3 * 2x√x)' + (3 * x^3/2)' + (3 * 2x^(-1/2))'
= 6(√x + x^(1/2)) + (3/2)(x^3)' + 6(x^(-1/2))'
= 6(√x + x^(1/2)) + (3/2)(3x^2) + 6(1/2)(x^(-1/2))
= 6(√x + x^(1/2)) + (9/2)(x^2) + 3(x^(-1/2))

7. Подставим полученные значения в выражение для производной функции f'(x):
f'(x) = 2x^(-1/2) + (1/10) * f'(1) + (1/10)x * (6(√x + x^(1/2)) + (9/2)(x^2) + 3(x^(-1/2)))
= 2x^(-1/2) + (1/10) * f'(1) + (6/10)(√x + x^(1/2)) + (9/20)(x^2) + (3/10)(x^(-1/2))

8. Теперь остается только подставить x = 1/9 в полученное выражение, чтобы найти значение производной f'(1/9):
f'(1/9) = 2(1/9)^(-1/2) + (1/10) * f'(1) + (6/10)(√(1/9) + (1/9)^(1/2)) + (9/20)((1/9)^2) + (3/10)((1/9)^(-1/2))

9. Упростим полученное выражение для f'(1/9):
(1/9)^(-1/2) = (9/1)^(1/2) = 3
√(1/9) = (1/9)^(1/2) = 1/3
((1/9)^2) = (1/81)
((1/9)^(-1/2)) = (9/1)^(-1/2) = 1/3

f'(1/9) = 2 * 3 + (1/10) * f'(1) + (6/10)(1/3 + 1/3) + (9/20)(1/81) + (3/10)(1/3)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (6/10)(2/3) + (9/20)(1/81) + (1/10)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)(1/81) + (1/10)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)
= 6 + (1/10) * f'(1) + (4/10) + (1/20)/(81)