Writing Imagine there are rubbish collections in your street
only once a month. You want to have more. Write a
formal letter to your local council (Town Council/,
Old Road, Moortown, MR34 1XZ). Use the correct
layout, and linkers for explaining. ​

1. I'm not drinking coffee now. I am writing an English exercise.
2. I do not drink coffee in the evening. I drink coffee in the morning.
3. Is your friend doing his homework now?
4. Does your friend go to school in the morning?
5. Look! The baby is sleeping.
6. The baby always sleeps after dinner.
7. My grandmother doesn't work. She is on pension.
8. My father isn't sleeping now. He is working in the garden.
9. I usually get up at seven o'clock in the morning.
10. What is your sister doing now? — She is washing her face and hands.
11. When do you usually come home from school? — I come at three o'clock.
12. Where does your cousin work? -- He works at a hospital.
13. Does your sister study at an institute? - No, she studies at school.
14. My cousin goes to school every day.
15. My mother is not playing the piano now.
      She plays the piano in the morning.

ОБА варианта верны.
1) Mother`s bag- здесь использован притяжательный падеж. Существительное Mother`s стоит в притяжательном падеже, отвечает на вопрос чей?чья?=сумка чья?=мамы=мамина сумка
Необходимо помнить, что существует ещё конструкция с предлогом of, которую можно использовать ВМЕСТО притяжательного падежа. Она полностью заменяет существительное в притяжательном падеже. Данный предлог соответствует родительному падежу в русском языке и отвечает на вопрос кого? чего?
2) Bag of mother=сумка кого?=мамы=мамина сумка

Дополнение к ответу: с предлогом of употребляются ЛЮБЫЕ существительные(и одуш. и неодуш)