Объясните где пишутся и где не пишутся артикли a, an, the

Это очень большая тема! Коротко не объяснить. "A" - неопределенный артикль, употребляется, когда называют что-то, дают характеристику. "The" - определенный артикль, когда речь идет об известном предмете:
This is a book. This is a nice book. The book is interesting.

Ну или проще:

The boy has opened the door.

(Этот) мальчик открыл дверь (т. е. the - определённый)

A boy has opened the door.

(Kaкой-то) мальчик открыл дверь (т. е. а - неопределённый)