Если посмотрите на чертеж, то всё довольно прозрачно.
Нам фактически задана СН (это 1/2 - 1/3 = 1/6 от длины хорды), а ОН легко вычислить, она равна 3 ( тр-к АНО прямоугольный со сторонами 5, 4, и, конечно, 3);
Из рисунка понятно, как составить уравнение на радиус окружности.
O1K II AB, O1CHK - прямоугольник. О1ОК и есть треугольник (прямоугольный), из которого находится r. Причем уравнение получается даже не квадратное - вторая степень r сокращается.
(R - r)^2 = CH^2 + (r + OH)^2;
R^2-2*R*r = CH^2 + OH^2 +2*OH*r; Любопытно, что СН^2 + OH^2 = OC^2;
r = (1/2)*(R^2 - OC^2)/(R+OH). Это уже ответ. Давайте вычислим.
СH = 8/6 = 4/3; OH = 3; OC^2 = OH^2 + CH^2 = 16/9 + 9; R + OH = 8;
r = (1/2)(25 - 9 - 16/9)/8 = 16*(1- 1/9)/16 = 8/9
Можно ввести более общий случай, если заданы R, расстояние ДО хорды H и расстояние X от СЕРЕДИНЫ хорды до точки касания малой окружностью.
Тогда
r = (1/2)(R^2 - X^2 - H^2)/(R+H);
Опять таки, X^2 + H^2 = CO^2 (квадрат расстояния от центра большой окружности до точки касания)
Второй угол треугольника в основании (90 - альфа).
Теперь главное - ясно, что вершина пирамиды проецируется в центр вписаной окружности. Это потому, что основание высоты равноудалено от сторон на расстояния, равные высоте пирамиды, умноженной на ctg(бета). Если аккуратно построить двугранные углы боковых граней, опуская перпендикуляры на стороны основания, то это сразу видно.
Центр вписаной окружности лежит на пересечении биссектрис. Поэтому
r = b*sin(альфа/2);
Боковые стороны тоже легко вычисляются, один катет = r + b*cos(альфа/2);
второй = r+ r*ctg(45 - альфа/2).
Высота пирамиды равна r*tg(бета). Отсюда всё находится.
S = (1/2)*(b^2)*(sin(альфа/2) + cos(альфа/2))*sin(альфа/2)*(1+ctg(45 - альфа/2));
Наверно, это выражение можно упростить. Мне удалось до такого выражения:
S = (b^2/2)*(1 + sin(альфа) - cos(альфа))*(1+sin(альфа)+cos(альфа))/(2*cos(альфа))
Надеюсь, я нигде не ошибся. На всякий добавил скан, как я упрощал.
V = (1/3)*S*b*sin(альфа/2)*tg(бета)
