Можно ли расставить на некоторые поля шахматной доски по шашке, чтобы не было пустых рядов, на всех вертикалях шашек было поровну,

Ответ: нельзя.
Решение. На горизонтали может стоять от 1 до 8 шашек. Чтобы числа не повторялись, каждое из чисел от 1 до 8 должно встретиться ровно по разу. Значит, всего должно быть 1 + 2 + .. . + 8 = 36 шашек. А складывая по вертикалям, мы должны умножить число шашек на вертикали на 8. Однако 36 на 8 не делится. Противоречие. Значит, так расставить нельзя.