В строку записаны 10 натуральных чисел. Докажите, что можно подчеркнуть одно или несколько чисел подряд так, чтобы сумма подчеркнутых

Решение. Будем искать набор чисел, сумма которых оканчивается на цифру 0. Рассмотрим 10 сумм: первое, первое + второе, первое + второе + третье, и так до суммы всех десяти чисел. Если какая-то из сумм оканчивается на 0, берем ее. Если таких сумм нет, рассортируем их по последней цифре. Есть 10 сумм и не более 9 вариантов последней цифры, значит, по принципу Дирихле найдутся две суммы с одинаковой цифрой. Значит, их разность оканчивается на 0. Однако меньшая сумма является началом большей. При вычитании начало сократится, и останется сумма подряд идущих чисел, что и требовалось!