Повідомлення про небезпечні місця​

Пусть а — сторона ΔАВС; ∠А = а; h_a — высота, опущенная из ∠А. Построение:

1) Построим равнобедренный треугольник В₁М₁С с ∠М₁ = = ∠А = а.

2) На луче СВ₁ отложим отрезок СВ = а от точки С.

3) Проведем ВМ || В₁М₁ через точку В.

4) Около ΔМСВ опишем окружность.

5) Проведем прямую E||BC, находящуюся на расстоянии h_a.

6) Обозначим точку пересечения b и окружности А. ΔABC — искомый, так как ∠А = ∠М = а(как вписанные углы, лежащие по одну сторону от прямой ВС); ВС = а (по построению); АН = ha (по построению).

Пусть в ΔABC, AK — высота, AN — биссектриса ∠A, AE — медиана. Из точки A к прямой BC проведены перпендикуляр AK (высота) и две наклонные. Cледовательно точка N принадлежит либо KB, либо KE. Точка N совпадает с K, тогда AN = AK < AE. Точка N совпадает с E, тогда AN = AE > AK.  Точка N лежит между точками K и E, тогда AK < AN < AE (так как ее проекция NK меньше EK — проекции AE). По доказанному в задаче № 24, AN не может быть больше AE, т.е. точка N не может лежать между E и С Что и требовалось доказать.