ответ: 1. Выведем формулу через производную:
y = ax² + bx + c
y' = 2ax + b + 0 = 2ax + b
2ax + b ≥ 0
2ax ≥ -b
Если a > 0, то x ≥ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка минимума.
Как известно, в точке минимума функция принимает наименьшее значение.
Если a < 0, то x ≤ -b/2a, значит, x = -b/2a - точка максимума.
Как известно, в точке максимума функция принимает наибольшее значение.
2. Выделим полный квадрат:
y = ax² + bx + c
y = (ax² + bx) + c
y = a(x² + bx/a) + c
y = a(x² + 2bx/2a + b²/4a²) - b²/4a + c
y = a(x + b/2a)² + (4ac - b²)/4a
Квадратичную функцию можно представить в виде y = a(x - m)² + l
В данном случае m = -b/2a, l = (4ac - b²)/4a.
Если рассмотреть функцию y = a(x - m)² + l, то понятно, что если a > 0, то при x = m функция будет принимать наименьшее значение, а если a < 0, то при x = m она будет принимать наибольшее значение.
Т.к. m = -b/2a, то при a > 0 и при x = -b/2a функция будет принимать наименьшее значение, при a < 0 и при x = -b/2a будет принимать наибольшее значение.
Обозначим объем всей выполняемой работы за единицу
Скорость работы (производительность) экскаваторов: v₁ и v₂
Тогда объем работы, выполненный двумя экскаваторами при совместной работе: 1 = (v₁ + v₂)•t
Скорость (производительность) работы:
v₁ + v₂ = 1/12
По условию:
Составляем систему:
Так как мы приняли объем работы по всему котловану за 1, то второй экскаватор может выкопать котлован, работая в одиночку, за:
t₂₁ = 1/v₂₁ = 1 : 1/15 = 15 (ч.) или за: t₂₂ = 1/v₂₂ = 1 : 1/36 = 36 (ч.)
Скорость работы первого экскаватора:
v₁₁ = 1/12 - v₂₁ = 1/12 - 1/15 = 1/60 (котлована в час)
v₁₂ = 1/12 - 1/36 = 1/18 (котлована в час)
И время работы первого экскаватора по рытью котлована в одиночку:
t₁₁ = 1/v₁₁ = 1 : 1/60 = 60 (ч.) или t₁₂ = 1/v₁₂ = 1 : 1/18 = 18 (ч.)
если скорость работы первого экскаватора меньше скорости работы второго, то: время, необходимое первому экскаватору на то, чтобы вырыть котлован самостоятельно - 60 ч.; второму - 15 ч.
если скорость работы первого экскаватора больше скорости работы второго, то: время, необходимое первому экскаватору на то, чтобы вырыть котлован самостоятельно - 18 ч.; второму - 36 ч.
