Сколько месяцев попугаю с фиолетовой(нежно) восковицей
​

Решение.

Для решения задачи воспользуемся следующими формулами:
 
где:
R - радиус описанной окружности
r - радиус вписанной окружности
p - полупериметр треугольника
S - площадь треугольника, при чем формула нахождения площади треугольника приведена для равнобедренного треугольника и является следствием формулы Герона для случая, когда a  - длины одинаковых сторон, а b - длина третьей стороны.

Сначала найдем длину одинаковых сторон равнобедренного треугольника. Поскольку высота, опущенная на основание равнобедренного треугольника, является одновременно и медианой, то, применив теорему Пифагора, получим:
a = √ (92 + 122 ) =  √225 = 15

Теперь найдем площадь равнобедренного треугольника
S = 1/2 * 24 √ (  ( 15 + 1/2 * 24 ) ( 15  - 1/2 * 24 ) ) = 12 √ ( 27 * 3 ) = 12 √ 81 = 108 см2

Откуда радиус описанной окружности вокруг равнобедренного треугольника
R = 15 * 15 * 24 / ( 4 * 108 ) = 12.5 см.

Радиус вписанной окружности
p = ( 15 + 15 + 24 ) / 2 = 27
r = 108 / 27 = 4

Ответ: 4 и 12,5 см.

Решение.
Кроме медиан, указанных в условии, проведем медиану к третьей стороне треугольника.
Треугольник с медианами
Воспользуемся следующими свойствами медианы треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центроидом, и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.
Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
Таким образом, если площади указанных треугольников равны, то площадь искомого четырехугольника будет равна двум из шести получившихся треугольников, а значит 1/3 площади всего треугольника.

Площадь треугольника найдем по формуле S = ab sin γ

S = 20 *12 * sin 135

Значение синуса 135 градусов найдем по таблице значений тригонометрических функций.

S = 240 * √2 / 2 = 120√2

Откуда площадь искомого четырехугольника равна ( 120√2  ) / 3 = 40√2

Ответ: 40√2