марс-экспресс автоматическая межпланетная станция, предназначенная для изучения Марса. На каком максимальном расстоянии друг от друга(по поверхности Марса)могут находиться марсиане, чтобы они могли видеть этот спутник одновременно, если высота спутника над поверхностью Марса в момент наблюдения 3400 км?

ответ:  Максимальное расстояние между наблюдателями  ≈ 7113 км.

Объяснение:  Дано:

Экваториальный радиус Марса Rм = 3396,2 км

Высота спутника над поверхностью Марса Н = 3400 км

Найти минимальное расстояние между наблюдателями,  одновременно видящими спутник, т.е. найти  

длину дуги АДВ в км.

На рисунке СА и СВ – касательные к поверхности Марса, проведенные через спутник.

Чтобы найти длину дуги АДВ в км надо найти угол АОВ.  Этот угол = 2∠АОС.  Отрезки АО и ДО – радиусы Марса = Rм.   ОС = ОД + ДС = Rм + Н.  По теореме Пифагора АС² = ОС² - АО².  Отсюда  АС = √(ОС² - АО²) = √{(Rм + Н)²  -  Rм²} = √{(Rм + Н)²  -  Rм²} = √{(3396,2 +3400)² - 3396,2²} ≈ 5886,8 км. Тогда tg ∠АОС = АС/АО =  АС/ Rм  = 5886,8/3396,2 ≈ 1,7333.    Угол АОС = arctg1,7333 ≈ 60°.   Угол  АОВ = 2*60 = 120°.

Длина окружности Марса  Lм = 2π* Rм.  Дуга в 120 градусов это 120/360 = 1/3, треть окружности Марса.  Тогда длина дуги АДВ в км =  Lм/3 = 2π* Rм/3 ≈ 7113 км.