Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Отрезок AA1 вторично

∠A1B1Q=∠BA1A=∠A1AR=∠QAR. Значит, четырёхугольник ARB1Q – вписанный. Аналогично, вписанным является и четырёхугольник PAQC1. Следовательно, ∠PQR=∠PQA+∠RQA=∠PC1A+∠RB1A=∠A1C1B+∠A1B1C=∠A1QC1+∠A1QB1=∠B1QC1.