Можно ли в клетки квадрата 10х10 поставить некоторое количество звездочек так, чтобы в любом квадрате 2х2 было ровно две звездочк

Нельзя. Квадрат 10х10 можно разбить на 25 непересекающихся квадратов 2х2. Так как в каждом из них должно быть по две звездочки, то всего звездочек должно быть 50. С другой стороны, 99 клеток исходного квадрата можно разбить на 33 непересекающихся прямоугольника 3х1. В каждом из должно быть по одной звездочке, поэтому, даже поставив звездочку в оставшуюся клетку, мы не сможем получить больше, чем 34 звездочки. Полученное противоречие доказывает невозможность требуемой расстановки.