Существует ли прямоугольный треугольник, который можно разрезать на три равных треугольника?

Ответ: существует, например, прямоугольный треугольник с острым углом 30.
Рассмотрим △АBC с прямым углом С, в котором ∠ABC = 30. Проведем биссектрису АK этого треугольника и из точки K опустим перпендикуляр KD на гипотенузу.
Прямоугольные треугольники AKC и AKD равны, так как ∠CAK = ∠DAK = 30, а AK – их общая гипотенуза, а прямоугольные треугольники BKD и AKD равны, так как ∠DBK = ∠DAK = 30, а DK – их общий катет. Следовательно, указанный треугольник АBC разрезан на три равных треугольника, что и требовалось доказать.