Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять 1. Можно ли все числа сделать равными?

Нет. За каждый шаг сумма всех написанных чисел увеличивается на 2. Так как вначале сумма равна 21, то она всегда будет оставаться нечётной. А сумма четырёх одинаковых чисел чётна.