В вазе лежат персик, ананас и банан. Сколько существует различных последовательностей, которыми можно взять из вазы эти фрукты?

1) один персик; 2) один ананас; 3) один банан; 4) персик и ананас; 5) ананас и банан; 4) персик и банан; 7) персик, ананас, банан.

Это комбинаторная задача на нахождение числа способов. Способы выбора данных фруктов зависят от порядка предпочтения. Ученики 1-го класса, обучавшиеся по учебникам этого же автора, знают правило перебора, которое позволит не упустить из виду ни один из способов. Если взять первые буквы от названий фруктов, то способы перебора можно записать так: ПАБ, ПБА, АПБ, АБП, БАП, БПА. Порядок перебора следующий: каждый из фруктов должен занять первое место в тройках дважды, два других фрукта записываются в любом порядке, а в следующей тройке меняются местами.
Мы рассмотрели случай, когда фрукты берут по одному. Если можно брать 2 фрукта, тогда возможны такие способы: ПА и Б, Б и ПА, ПБ и А, А и ПБ, АБ и П, П и АБ. И еще один способ, если можно взять сразу 3 фрукта из вазы. Таким образом, мы нашли 6 + 6 + 1 = 13 способов.

Ответ: 13 способов.