В шести коробочках лежат деньги. В первой 1р., во второй 2 р., в третьей Зр. и т. д., в шестой 6 р. За один ход разрешается в любые две коробочки добавить по 1р.

Нельзя. За один ход сумма денег во всех коробочках увеличивается на 1 + 1 = 2 р., т.е. на четное число.
Если через некоторое количество ходов количество денег во всех коробочках было бы равным, то сумма всех денег оказалась бы четным числом, т.к. сумма четного числа одинаковых слагаемых — четное число.
Первоначально сумма равна 1+2 + 3+4 + 5 + 6 = 21 — нечетному числу, и добавляя к нему четное число, невозможно получить четкую сумму, так как сумма нечетного и четного чисел нечетная.