Отец имеет семь сыновей. Сумма возрастов первого и четвёртого сына равна 9 годам, первого и шестого — 8 годам, второго и пятого — 8 годам, второго и третьего

Сложив числа 9, 8, 8, 9, 6, 4, 4, получим удвоенную сумму возрастов всех  детей  48.  Значит,  сумма  возрастов  всех  детей  равна  24.  Поскольку  сумма возрастов первого и шестого, второго и третьего, четвертого и седьмого сыновей равна 8+9+4=21 году, а сумма возрастов всех детей равна 24 годам, то пятому сыну 3 года, а тогда второму сыну 5 лет. Поскольку сумма возрастов второго и третьего сыновей  равна  9  годам,  то  третьему  сыну  4  года.  Поскольку  сумма  возрастов третьего и шестого сыновей равна 6 годам, то шестому сыну 2 года. Далее находим, что возраста первого –6 лет, четвѐртого –3 года и седьмого –1 год.

Для этого, для начала, обозначим возраст первого сына через а1, второго – через а2, третьего – через а3, четвёртого – через а4, пятого – через а5, шестого – через а6 и седьмого – через а7. Тогда, согласно условию, можно записать следующие 7 уравнений
а1 + а4 = 9 (1),
а1 + а6 = 8 (2),
а2 + а5 = 8 (3),
а2 + а3 = 9 (4),
а3 + а6 = 6 (5),
а4 + а7 = 4 (6),
а7 + а5 = 4 (7).
На алгебраическом языке это значит, что для решения задачи имеется система из 7 уравнений (1)…(7) с 7 неизвестными.
Попробуем упростить эти уравнения пользуясь не приёмами формальной алгебры, а путём рассуждений.
Из рассмотрения (1) и (2) следует, что а4 больше а6 на 1, и, поэтому,
а4 – а6 = 1 (8).
Аналогично, из (3) и (4) видно, что а3 больше а5 на 1 и, значит,
а3 – а5 = 1 (9),
Из (6) и (7) следует, что а4 и а5 равны, то есть
а4 – а5 = 0 (11).
Добавив сюда ещё (6), также содержащее неизвестные а3 и а6, сведём систему из 7 уравнений с 7 неизвестными к системе из 4 уравнений с 4 неизвестными а3, а4, а5 и а6:
а4 – а6 = 1
а3 – а5 = 1
а3 + а6 = 6
а4 – а5 = 0
Заменим а5 на а4 и получим:
а4 – а6 = 1
а3 – а4 = 1
а3 + а6 = 6
Сложим левые и правые части первых двух уравнений и получим
а3 – а6 = 2.
Теперь у нас имеется система 2 уравнений с 2 неизвестными
а3 + а6 = 6
а3 – а6 = 2, сложив левые и правые части которых, найдём:
2*а3 = 8
а3 = 4 и а4 = а3 – 1 = 3, а поскольку а4 = а5, то а5 = 3.
а6 = а4 – 1 = 2
Из уравнения (6) а7 = 4 – а4 = 3 – 3 = 1.
Из (1) а1 = 9 – а4 = 9 – 3 = 6
Из (3) а2 = 8 – а5 = 8 – 3 = 5.
Итак: первому сыну 6 лет, второму – 5, третьему – 4, четвёртому и пятому по 3 года, шестому – 2, а седьмому — 1 год.
А вот как можно решить  задачу значительно проще.
Вернёмся к рассмотрению системы из 7 уравнений. Проанализируем её и увидим, что каждый из членов а1…а7 появляется в системе дважды, а поэтому, сложив левые части всех 7 уравнений получим:
2а1 + 2а2 + 2а3 + 2а4 + 2а5 + 2а6 + 2а7 = 2(а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7) .
Сложив правые части уравнений найдём:
9 + 8 + 8 + 9 + 6 + 4 +4 = 48, следовательно:
2(а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7) = 48
а1 + а2 + а3 + а4 + а5 + а6 + а7 = 24 (1)
Отсюда, например, а6 = 24 — (а1 + а4) — (а2 + а3) — (а5 + а7) = 24 — 9  — 9 — 4 = 2
а1 = 8 — 2 = 6.
а4 = 9 — 6 = 3
а7 = 4 — 3  = 1
Подставляя найденные значения а1 и а6 в (1) найдём:
а2 + а3 + а4 + а5 +  а7 = 24 -2 — 6 = 16
а5 = 16 -(а2 + а3) — (а4 +а7) = 16 — 9 — 4 = 3
а2 = 8 -5 = 5