Монополист имеет затраты TC = 2 000 + 10Q + 0,5Q^2 . Спрос на его продукцию задан уравнением QD = 120 – 2P. Найти монопольную прибыль и коэффициент Лернера.
Нужно подробное решение с объяснениями

Для решения данной задачи нам потребуется использовать следующие формулы:

1. Общий доход (TR) вычисляется как произведение цены продукта (P) на количество проданного товара (Q): TR = P * Q.
2. Затраты фирмы (TC) заданы уравнением TC = 2 000 + 10Q + 0,5Q^2.
3. Прибыль (π) определяется как разница между общим доходом и затратами: π = TR - TC.
4. Формула спроса на продукцию монополиста: QD = 120 - 2P.
5. Коэффициент Лернера (L) рассчитывается как отношение разности между ценой и предельной стоимостью производства к цене: L = (P - MC) / P, где MC - предельные затраты на производство первой единицы продукции (MC = dTC/dQ).

Давайте начнем с расчета цены. Для этого подставим уравнение спроса в уравнение общего дохода:
TR = P * Q = P * (120 - 2P).

Теперь найдем общую прибыль, подставив уравнение затрат в формулу прибыли:
π = TR - TC = P * (120 - 2P) - (2 000 + 10Q + 0,5Q^2).

Для нахождения оптимального уровня производства, который максимизирует прибыль, возьмем производную прибыли по Q и приравняем ее к нулю:
dπ/dQ = -10 - Q = 0,
Q = -10.

Подставим найденное значение Q в уравнение спроса, чтобы найти цену:
QD = 120 - 2P,
-10 = 120 - 2P,
2P = 130,
P = 65.

Итак, монопольная прибыль будет равна:
π = P * (120 - 2P) - (2 000 + 10Q + 0,5Q^2) = 65 * (120 - 2 * 65) - (2 000 + 10 * (-10) + 0,5 * (-10)^2) = 65 * (120 - 130) - (2 000 - 100 - 50) = 65 * (-10) - 1 850 = -650 - 1 850 = -2 500.

Теперь рассчитаем предельные затраты на производство первой единицы продукции используя формулу:
MC = dTC/dQ = 10 + 0,5 * 2Q = 10 + Q = 10 + (-10) = 0.

И найдем коэффициент Лернера, подставив MC в формулу коэффициента Лернера:
L = (P - MC) / P = (65 - 0) / 65 = 1.

Таким образом, монопольная прибыль составляет -2 500, а коэффициент Лернера равен 1.
Минус перед прибылью означает, что фирма работает с убытками. Коэффициент Лернера показывает, что цена продукции монополиста составляет удвоенные предельные затраты на производство первой единицы товара.