На рынке со спросом Q = 100 – 5p действуют 3 одинаковых фирм с издержками 25. Эти фирмы сговорились и для удержания сговора используют стратегию вечного наказания, т.е. при чьем-то оппортунистическом поведении сговор перестает действовать, и все фирмы начинают работать в условиях модели Курно. 1. Найдите цены, объемы поставок и прибыли фирмы при сговоре.
2. Найдите цены, объемы поставок и прибыли фирмы при конкуренции по Курно.
3. Найдите оптимальный объем поставок фирмы, отклоняющей в одностороннем порядке от сговора. Покажите, какая цена станет на рынке и какова будет прибыль фирмы.
4. Государство, решая разрушить сговор, готово однократно выплатить фирме, которая разрушит сговор некоторую сумму. Найдите при какой сумме сговор действительно будет разрушен, если дисконтирующий множитель равен 0,8.

1. При сговоре фирмы действуют, как одна единица, поэтому суммирую ценовые функции каждой фирмы, получим общую ценовую функцию:
P = Q/15 + 20
где P - цена, Q - объем поставок.

Чтобы найти равновесную точку на рынке, должно выполняться равенство спроса и предложения:
Q = 100 – 5p
Q/15 + 20 = 100 – 5p

Решим это уравнение, найдем цену:
Q/15 + 5p = 80
Q/15 + p = 16
Q/15 = 16 - p
Q = 15(16 - p)

Теперь подставим это в уравнение спроса и найдем равновесный объем поставок:
15(16 - p) = 100 - 5p
240 - 15p = 100 - 5p
10p = 140
p = 14

Теперь можем найти цену и объем поставок:
P = Q/15 + 20
P = 15(16 - 14)/15 + 20
P = 34/15 + 20
P = 68/15

Q = 15(16 - p)
Q = 15(16 - 14)
Q = 30

Теперь можем найти прибыль фирмы:
Прибыль = (P - издержки) * Q
Прибыль = (68/15 - 25) * 30
Прибыль = -320/15

2. При конкуренции по Курно каждая фирма оптимизирует свою ценовую функцию:

P = Q/15 + 20

Теперь найдем равновесную точку на рынке. Суммируя ценовые функции всех трех фирм, получим общую ценовую функцию:

P_total = 3(Q/15 + 20) = Q/5 + 60

Теперь равенство спроса и предложения:
Q = 100 - 5P_total
Q = 100 - 5(Q/5 + 60)
Q = 100 - Q - 300
2Q = -200
Q = -100

Так как объем поставок не может быть отрицательным, то в данном случае нет равновесной точки при конкуренции по Курно.

3. Оптимальный объем поставок для фирмы, отклоняющейся от сговора, можно найти, решая задачу оптимизации прибыли.

Прибыль = (P - издержки) * Q
P = Q/15 + 20

Подставляем эту цену в уравнение спроса:
Q = 100 - 5P
Q = 100 - 5(Q/15 + 20)
Q = 100 - Q/3 - 100
Q/3 = 0
Q = 0

Таким образом, оптимальный объем поставок для фирмы, отклоняющейся от сговора, равен 0. Это означает, что эта фирма перестает производить и продавать товары.

4. Чтобы разрушить сговор, государство готово выплатить фирме некоторую сумму. Цель фирмы - максимизировать свою прибыль.

Прибыль = (P - издержки) * Q
P = Q/15 + 20

Фирма будет принимать решение разрушить сговор, если ее прибыль от этого будет больше, чем прибыль от соблюдения сговора.

Прибыль фирмы от разрушения сговора:
Прибыль_разрушение = ([P_разрушение - издержки] * Q_разрушение) + сумма_разрушения

Прибыль фирмы от соблюдения сговора:
Прибыль_соблюдение = ([P_соблюдение - издержки] * Q_соблюдение)

Дисконтирующий множитель - 0,8. Пусть сумма_разрушения равна X.

Теперь сравним две прибыли и найдем при какой сумме разрушение сговора произойдет:
Прибыль_разрушение = Прибыль_соблюдение * 0,8 + X
([P_разрушение - издержки] * Q_разрушение) = ([P_соблюдение - издержки] * Q_соблюдение) * 0,8 + X

Подставляем значения для P и Q:
([(Q_разрушение/15 + 20) - 25] * Q_разрушение) = ([(Q_соблюдение/15 + 20) - 25] * Q_соблюдение) * 0,8 + X

Теперь можем решить это уравнение и найти сумму разрушения сговора.